1. 对于斐波那契数列，前一项和后一项的比趋近于0.618(黄金分割比)
2. $985^2-211^2$=917813+7891
3. $sin^2x+cos^2x=1$,而$cosh^2x-sinh^2x=1$
4. 76923*3=230769   230769*3=692307(类似142857的轮换对称)

1.不管是从哪两个数开始，按照斐波那契数列的规则递推下去，最终后一项与前一项的比总会趋近于黄金分割$\varphi$

2.$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

3.圆的面积$S=\pi R^2,将S对R求导得到2\pi R$，即圆的周长

同样的，球的体积$V=\frac{4}{3}\pi R^3,求导得到4\pi R^2,即球的表面积(求导\rightarrow降维？)$

要说数学的美，欧拉必须榜上有名

$e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta$

牛顿-莱布尼茨也不能少

若 $F'(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，则 $\displaystyle \int_a^bF'(T)\mathrm dt=F(b)-F(a)$

其实高斯和斯托克斯也很优美，大半夜的先不写了

1.高斯绝妙定理(就是毕导讲过的那个)，任意曲面在等距变换下曲率保持不变

2.欧拉"天桥"：$e^{i\pi}+1=0$

补上面评论区的内容，超过1000字符了发不了评论，只能发回复了

单就1/19而言，其实也不用全算出来。

以下仍然是推导，看结论直接到最后

我们刚才说明了，奇素数 $p$ 是走马灯数当且仅当 $10$ 是 $p$ 的原根。

这就意味着，$\forall1\le x\le p-2, p\nmid 10^x-1$。

考虑 $p\neq 5$。由费马小定理，$p\mid 10^{p-1}-1$，

假设 $10$ 不是 $p$ 的原根，设 $p\mid 10^x-1$，$1\le x\le p-2$，

则由Bezout定理，存在 $m,n\in \Z$，使得 $m(p-1)+nx=\gcd(p-1,x)$。

从而 $10^{\gcd(p-1,x)}\equiv (10^{p-1})^m\cdot(10^x)^n\equiv 1^m\cdot 1^n\equiv 1(\mod p~~)$。

显然 $\gcd(p-1,x)\mid p-1$，

且由于 $1\le x\le p-2$，有 $\gcd(p-1,x)\le x\le p-2\lt p-1$。

从而 $\gcd(p-1,x)\neq p-1$。故存在 $k\in \N^*$ 且 $k\ge 2$，使得 $k\gcd(p-1,x)=p-1$。

此时 $k$ 存在素因数 $q$，则 $\gcd(p-1,x)\mid\displaystyle\frac{p-1}{q}$。

设 $\displaystyle\frac{p-1}{q}=l\cdot \gcd(p-1,x)$。

则 $\displaystyle10^{\frac{p-1}{q}}\equiv(10^{\gcd(p-1,x)})^l\equiv1^l\equiv 1(\mod p~~)$。

$\color{red}{\LARGE{以下是结论}}$

故若 $p$ 不是走马灯数，则存在一个 $p-1$ 的素因子 $q$，

使得 $\displaystyle 10^{\frac{p-1}{q}}\equiv1(\mod p~~)$。

取逆否，知若所有 $p-1$ 的素因数 $q$ 都满足 $p\nmid 10^{\frac{p-1}{q}}-1$，则 $p$ 是走马灯数。

对于 $p=19$ ，由于 $18$ 的素因数仅有 $2,3$，我们只需考虑 $10^6$ 和 $10^9$ 除以19的余数。

$10^3\equiv 1000\equiv 950+38+12\equiv 12(\mod 19~~)$；

$10^6\equiv 12^2\equiv 144\equiv 133+11\equiv 11(\mod 19~~)$；

$10^9\equiv 11\times 12\equiv 132\equiv18(\mod 19~~)$。

从而 $10^6$ 和 $10^9$ 除以 $19$ 的余数都不为 $1$，故19是走马灯数。

当然，19本身不算特别大，因此还可以通过观察循环节得到结果。但对于更大的数，这一方法就要快捷的多。而且其还可以用于设计程序，时间复杂度应为 $O(\sqrt{p})$（主要是分解素因数需要的时间，计算乘方的时间复杂度要小得多）

余元公式，还有gama函数的乘积展开式

一元五次方程无求根公式与galois群

@致百年前的你

学到你说的那个什么定理了（

高数应该不会把这玩意讲太详细，考试估计也不考，但对于我一个有意向去数学系的后面可能还会听到（（（